ガチΣ - ガチ大学なめんな

平均と分散にちょっとよく出る関係あるんでそれの導出

その前にΣの説明

$\sum_{i=0}^n(なんか)$ って書いたらiが0からnまで(なんか)を全部足すって意味

$\sum_{i=0}^ni$ だったら、1+2+3+・・・+nって意味、ちなみにこれn(1+n)/2

$\sum_{i=0}^n1$ だったら1+1+1+・・・+1って意味、ちなみに1をn回足すのでこの値はn

$\sum_{i=0}^nx_i$ だったら $x_1+x_2+x_3+・・・+x_n$ って意味、ちなみに $x_i$ ってだいたいデータのことだからこれをnで割ったら平均がでるなんかこれわかってる前提で話すすめてたけど

というわけだけどΣの何回か足すって掛け算と同じような操作なのでΣは分配法則みたいな感じの掛け算と同じような性質をいろいろもってる

たとえば $\sum_{i=0}^n(x_i+y_i)=\sum_{i=0}^nx_i+\sum_{i=0}^ny_i$ つまり括弧がはずせるまあxとy足してから全部足すのとx全部足してy全部足してその二つを足すのも変わらないよねってこと

あと $\sum_{i=0}^nax_i=a \sum_{i=0}^nx_i$ つまりiに関係ないやつはΣの前に出せるまあxをa倍してから全部足すのとx全部足してa倍するのも変わらないよねってこと

ちなみにこの二つの性質もってるやつは結構おって大学はキモいからこれをまとめて線形性って呼んでる

これらを踏まえて $\sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=0}^n(\bar{x}-x_i)^2=\frac{1}{n}\sum_{i=0}^nx_i^2-\bar{x}^2$ (分散はデータ全部二乗してから平均取ったやつからデータの平均を二乗したやつを引いたやつ)をみちびく