ガチ大学なめんな

顔キモすぎて大学になめられてる

ガチΣ

平均と分散にちょっとよく出る関係あるんでそれの導出

その前にΣの説明

$\sum_{i=0}^n(なんか)$ って書いたらiが0からnまで(なんか)を全部足すって意味

$\sum_{i=0}^ni$ だったら、1+2+3+・・・+nって意味、ちなみにこれn(1+n)/2

f:id:re9l:20190412232904p:plain — n(n+1)/2の雑な説明

$\sum_{i=0}^n1$ だったら1+1+1+・・・+1って意味、ちなみに1をn回足すのでこの値はn

$\sum_{i=0}^nx_i$ だったら $x_1+x_2+x_3+・・・+x_n$ って意味、ちなみに $x_i$ ってだいたいデータのことだからこれをnで割ったら平均がでるなんかこれわかってる前提で話すすめてたけど

というわけだけどΣの何回か足すって掛け算と同じような操作なのでΣは分配法則みたいな感じの掛け算と同じような性質をいろいろもってる

たとえば $\sum_{i=0}^n(x_i+y_i)=\sum_{i=0}^nx_i+\sum_{i=0}^ny_i$ つまり括弧がはずせるまあxとy足してから全部足すのとx全部足してy全部足してその二つを足すのも変わらないよねってこと

あと $\sum_{i=0}^nax_i=a \sum_{i=0}^nx_i$ つまりiに関係ないやつはΣの前に出せるまあxをa倍してから全部足すのとx全部足してa倍するのも変わらないよねってこと

ちなみにこの二つの性質もってるやつは結構おって大学はキモいからこれをまとめて線形性って呼んでる

これらを踏まえて $\sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=0}^n(\bar{x}-x_i)^2=\frac{1}{n}\sum_{i=0}^nx_i^2-\bar{x}^2$ (分散はデータ全部二乗してから平均取ったやつからデータの平均を二乗したやつを引いたやつ)をみちびく

f:id:re9l:20190412235921p:plain — 式書くのめんどいから手書き

ガチ分散

細かいことはある程度大きな視野持てるようになってからのほうがわかりやすいだろうからまずは雑に書く

まず最初なんで平均とかいう値を求めたかというとn個もあるデータの特性を平均という一つの数字で表せるから

でも平均の他にもデータには特性があってたとえばデータのばらつき

f:id:re9l:20190411234044p:plain — データのばらつき

これ左のほうがデータは固まってて右の方はデータが散らばってるこれを一つの値で表すのが分散

分散を数字にしようと思うととりあえず基準がいるのでとりあえず平均値を基準にする

f:id:re9l:20190412224526p:plain

で、この青の矢印の長さの平均とったらデータが散らばってるほど数字がでかくてまとまってるほど数字がちっさくなる

でも青の矢印のでかさはデータが平均よりでかいかどうかで $x_i - \bar{x}$ だったり逆に $\bar{x} - x_i$ だったりするから実際に計算するとき場合分けが入ることになってうんこ

というわけで二乗して無理やり正の数にしてやってから平均をとることで最強になる

これを式にする

まず青の矢印 $\bar{x} - x_i$

それの二乗 $(\bar{x} - x_i)^2$ ちなみにこれどっちが前でも同じ数になる

これの平均、つまり1からnまでのiすべてについて足してnで割ることで分散の式が出るちなみにiはインデックスのi

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (\bar{x} - x_i)^2$

まあこれでいいんだけどなんか二乗しちゃってるからその分減らそう見たいに考えたのが標準偏差で雑に分散にルート付けてるだから分散はだいたい $\sigma^2$ ってかくし標準偏差はだいたい $\sigma$ ってかく

ガチ平均

平均は全部足して足した数で割ります。平均って平らに均すって書きます。

f:id:re9l:20190411222701p:plain — データ

こういうデータあったら平均 $\bar{x}$ は

f:id:re9l:20190411223213p:plain — 平均

こういう数(青の面積と黒の面積が同じ(平らに均すので))

だから平均 $\bar{x}$ が満たすべき性質は

$\bar{x} \times 4 = x_1 + x_2 + x_3 + x_4$

これを4で割ったら $\bar{x} =$ の形にできて

$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4}{4}$

n=4の時がこれなんで一般的には

$\displaystyle \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}$

になるしらんけど